绳子的拉力需要通过对物体进行受力分析得到_影视资讯

高中力学是令为数不少的同学非常头疼的问题，遇到的困难无外乎以下几点：

力分析多了；力分析少了；力的方向不对；力的大小老是算错……诸如此类。

那么力学应该怎么学？它的基本模型又是什么？力学的正确打开方式又是什么？

力学的核心在于受力分析。按照考试的要求，可将受力分析分为两类：一是与运动有关的受力分析，二是与运动无关的受力分析。

这时候，大多数学生都会认为：哇，第一类好难！无非是被“运动”狠狠地伤害过，很多人一看到“运动”就色变，觉得和“运动”有关的内容都是超难的。实则恰恰相反，第一类受力分析超级简单，而且高考必考。与运动无关的受力分析相对来讲要难一些，高考率在5%左右。因此，想实现高考成绩理想，又不愿过分透支精力的话，那么重点掌握第一类受力分析，第二类则可以适当放弃。

接下来，我们开始讲解受力分析的核心模型。

一、受力分析核心模型

（一）受力个数分析

想要做好受力分析，第一步要先数力，也就是数物体受力的个数。这一步相当重要，可以让我们知道力的来源，也就是哪些地方有力、哪些地方没有力；也可以让我们知道已经分析了哪些力，还有哪些力没有分析，这样才不至于少分析力，或者多分析力。下面，我们从场力、外力，轻杆、轻绳、轻弹簧，接触面三个要点逐一讲解。

1.场力：重力（万有引力）电场力、安培力和洛仑兹力。

2.外力：直接画在图上的力。这种力没有说明是什么性质的力，也不知道施力物体，但

它就是存在（因为已经直接画在图上了）。

以上这两种力，只要满足力产生的相应条件，就可以直接分析出来，与存不存在其他力没有关系，因此我们把这两种力称为“主动力”。

3.轻杆、轻绳、轻弹簧：最多只能提供一个力，即弹力。它提供不了摩擦力（爬杆、爬绳子这两种情况除外）。

4.接触面：一个接触面最多提供两个力，即弹力和摩擦力。并且这两个力的方向互相垂直。

（二）受力分析顺序

分析顺序为：场力、外力→轻杆、轻绳、轻弹簧→接触面，从上往下分析、从外往内分析。

注意：现在，请抛弃掉以前学习的“一重、二弹、三摩擦”。

（三）受力分析方法

核心方法：平衡法、牛二法

辅助方法：牛三法、整体隔离法

第一类受力分析简单就简单在第一步分析出了几个力，第二步只管按照顺序把它们画出来就好了，不用管这些力到底存不存在；第二类受力分析难就难在这些力不一定都存在，还需要我们去分析哪些力存在、哪些力不存在。分析力存不存在的方法除了每一种力的产生条件之外，最核心的方法就是基本模型的第三点。

平衡法和牛二法是互斥的两类方法。牛二法主要分析非平衡状态下，静摩擦力的方向；其余的一切都用平衡法。

接下来，我们对这几种方法进行逐一讲解！

1.平衡法

平衡法就是合力为0的方法。

例题：图1-1中，一根弹性杆的一端固定在倾角为 $30^{o}$ 的斜面上，杆的另一端固定一个重力是 $2N$ 的小球，小球处于静止状态时，弹性杆对小球的弹力是多少呢？

图1-1

我们需要对小球进行受力分析。小球一共只能受到两个力的作用：第一个是重力，方向竖直向下；第二个是杆对小球的弹力。因为小球静止，小球处于平衡状态，所以小球的合力为0，则杆对小球的弹力和小球所受的重力一定大小相等，方向相反。弹性杆对小球的弹力大小为 $2N$ ，方向竖直向上。

2.牛二法

牛二法也叫动力阻力法，主要用于分析静摩擦力的方向问题。

例题：图1-2（a）中， $A$ 和 $B$ 在外力 $F$ 的作用下一起向右匀加速运动，则 $A$ 和对 $B$ 的摩擦力向左还是向右？

图1-2（a）

因为 $A$ 和 $B$ 在外力 $F$ 的作用下一起向右匀加速运动，所以物体 $A$ 和木板 $B$ 的加速度都是水平向右，并且物体 $A$ 和木板 $B$ 之间的摩擦力为静摩擦力。

图1-2（b）

现在单独对木板 $B$ 进行受力分析，受力分析如图1-2（b）所示。根据牛顿第二定律，木板 $B$ 所受的合力也是水平向右，而木板 $B$ 的重力和物体 $A$ 对 $B$ 的压力 $F_{N}$ 以及地面对木板支持力 $N$ 都在竖直方向上，提供不了水平方向上的合力。因为木板 $B$ 向右运动，所以地面对木板 $B$ 的摩擦力水平向左，因此物体 $A$ 对木板 $B$ 的摩擦力一定水平向右，因为只有它才能给木板 $B$ 向右的合力。

3.牛三法

牛三法是相当好用的方法。假如要分析 $A$ 对 $B$ 的力，可先分析 $B$ 对 $A$ 的力，再用牛三（大小相等，方向相反）转换一下就行了。

例题：图1-3的情况： $A$ 和 $B$ 一起向右匀速运动，则 $A$ 对 $B$ 的摩擦力向左还是向右？

图1-3

因为 $A$ 和 $B$ 一起向右匀速运动，所以 $A$ 的合力为0。因为外力 $F$ 水平向右，所以 $B$ 对 $A$ 的摩擦力水平向左，根据牛顿第三定律， $A$ 对 $B$ 的摩擦力水平向右。

4.整体隔离法

整体隔离法包括整体法和隔离法两种方法。这两种方法在受力分析的时候几乎是同时使用。

整体法就是把两个物体看成一个整体进行分析，而隔离法是单独对一个物体进行受力分析。使用原则：分析外力最好用整体法，分析内力只能用隔离法。

如何区别外力和内力（此外力不是上方受力个数分析和受力分析顺利中说的外力）：系统外的物体和系统内的物体之间的力叫外力；系统内的物体和系统内的物体之间的力叫内力。如图1-4所示，如果把 $A$ 和 $B$ 作为一个系统：则①和②是内力，③和④是外力；如果把 $B$ 和 $C$ 作为一个系统：则③是内力，①、②和④是外力。依此类推。

图1-4

（四）经典题型受力分析

关于高中物理更多的内容，大家可以关注我编写的高中物理教辅资料《高中物理知识模型探究与实践·力学篇》，里面针对受力分析、牛顿第二定律、传送带和滑块木板、平抛运动、圆周运动、天体运动、动能定理功能关系和动量的基本知识点和基本模型进行了全面细致地讲解！

在下方的百度网盘中有这本物理资料的电子档，有需要的同学可以点击链接下载下来进行学习！

链接：https://pan.baidu.com/s/1n8_4BOOxNNITZShoCbBP6A?pwd=bzax

高中物理知识模型探究与实践·力学篇

现在，同学们对所有受力分析的方法有了最基本的理解，以下就通过几个经典的例题讲解一下受力分析方法的具体运用及精髓。

例题1：如图1-5（a）所示，物体 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在水平外力 $F$ 的作用下在水平面上一起向右做匀速直线运动，则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个物体的受力情况该怎么分析呢？

图1-5（a）

1．根据受力分析步骤，从上往下分析，从外往内分析。首先分析物体 $C$ 。

第一步：数物体 $C$ 的受力个数。一个重力，没有外力 $F$ ，没有弹簧、绳子和杆，但有一个接触面，所以物体 $C$ 最多受到三个力。

第二步：受力分析。重力竖直向下，物体 $B$ 对 $C$ 的支持力垂直斜面向上，因为物体 $C$ 做匀速直线运动，所以物体 $C$ 的合力为0（平衡法），则物体 $C$ 必须受到一个物体 $B$ 对它的静摩擦力，沿斜面向上才可以平衡，其受力分析图为图1-5（b）。

图1-5（b）

2．接下来分析物体 $B$ 。

第一步：数物体 $B$ 的受力个数。一个重力，没有外力 $F$ ，没有弹簧、绳子和杆，有两个接触面，则物体 $B$ 最多受到五个力的作用（两个接触面加一个重力）。

第二步：受力分析。

（1）分析重力（主动力），如图1-5（c）所示；

图1-5（c）

（2）根据牛顿第三定律（牛三法），分析 $C$ 与 $B$ 这个接触面的力。因为之前分析完了物体 $C$ 的受力情况，物体 $B$ 对物体 $C$ 的两个力方向已经分析出来，那么物体 $C$ 对物体 $B$ 的两个力也可以直接分析出来。物体 $C$ 对物体 $B$ 的两个力和物体 $B$ 对物体 $C$ 的两个力大小相等、方向相反，如图1-5（d）所示；

图1-5（d）

（3）现在已经分析出了三个力，还有两个力没有分析。现在已经分析出来的这三个力方向都向下，根据平衡法可知，想要使物体 $B$ 合力为0（匀速直线运动），必须至少存在一个向上的力。而还没有分析的两个力是物体 $A$ 与物体 $B$ 的这个接触面的两个力，这两个力中只有物体 $A$ 对物体 $B$ 的支持力是竖直向上的，如图1-5（e）如示；

图1-5（e）

（4）根据力的合成与分解，这四个力的合力已经可以为0。那么现在就存在一个问题，物体 $A$ 对物体 $B$ 的摩擦力到底存在还是不存在？也就是说物体 $B$ 是受四个力的作用还是五个力的作用？有同学可能会认为，物体 $B$ 受不受摩擦力都无所谓，这样子想绝对会存在问题。因为目前为止，物体 $B$ 受不受这个摩擦力还没有分析出来，所以贸然下结论还为时尚早。不依靠分析得出结论，相当于是在猜答案。所以我们需要继续分析；

（5）单独分析物体 $B$ ，分析不出物体 $A$ 对物体 $B$ 存不存在摩擦力。当用隔离法分析不出力时，需要马上转换成整体法。使用整体法只能分析外力，当我们把物体 $B$ 和物体 $C$ 看成一个整体时，物体 $A$ 对物体 $B$ 的摩擦力就是外力，所以此时可以用整体法。把物体 $B$ 和物体 $C$ 看成一个整体时的受力分析图如图1-5（f）所示；

图1-5（f）

（6）此时就可以很容易看出，物体 $A$ 对物体 $BC$ 的支持力和物体 $BC$ 的重力已经完全平衡掉，根本不需要摩擦力，所以物体 $A$ 对物体 $B$ 是没有摩擦力的。

最终物体 $B$ 的受力分析图如图1-5（e）所示。

3．最后分析物体 $A$ 。

第一步：数物体 $A$ 受力的个数。一个重力、一个外力 $F$ ，两个接触面，所以物体 $A$ 最多受六个力的作用。

第二步：受力分析。

（1）直接画出重力和外力 $F$ （主动力），如图1-5（g）所示；

图1-5（g）

（2）根据牛顿第三定律（牛三法），分析 $B$ 与 $A$ 这个接触面的力。因为物体 $A$ 对物体 $B$ 只存在支持力，所以物体 $B$ 对物体 $A$ 也只存在压力，如图1-5（h）所示；

图1-5（h）

（3）根据平衡法可知：想要使物体 $A$

所受的合力为0，则物体 $A$ 必须受到一个向上的力和一个水平向左的力。而物体 $A$ 正好只剩最后两个力还没有分析，所以地面对物体 $A$ 的支持力存在，方向竖直向上，地面对物体 $A$ 的摩擦力也存在，方向水平向左。如图1-5（i）所示。物体 $A$ 的六个力全部分析完毕，物体 $A$ 的受力分析图如图1-5（i）所示。

图1-5（i）

高中物理的全套视频课程已在B站上持续更新，大家可以搜索“佐木高中物理”收藏观看！

例题2：高中物理的全套视频课程已在B站上持续更新，大家可以搜索“佐木高中物理”收藏观看！如图1-6（a）的甲、乙所示， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 是四个完全相同的木块。图甲中，水平力 $F$ 作用于 $B$ 上， $A$ 、 $B$ 处于静止状态；图乙中，竖直弹簧作用于 $D$ 上， $C$ 、 $D$ 处于静止状态。则四个木块的受力情况又是怎样的呢？

图1-6（a）

这种类型的分析难度相当大，却是理解受力分析精髓最好的类型之一。接下来，就通过这种类型好好理解一下受力分析的方法和步骤。

1．先看图甲。根据这种图的特点，可以采取先整体后隔离、先外后内、先上后下的顺序进行分析。

（1）首先用整体法进行分析。把物体 $A$ 和物体 $B$ 当作一个整体，这个整体最多受到四个力的作用（一个重力、一个外力、一个接触面）。再根据平衡法，分析结果见图1-6（b）。其中，支持力 $F_{N}$ 和摩擦力 $f_{A}$ 都是墙壁对物体 $A$ 的力。分析完毕，就需要用隔离法进行分析。

图1-6（b）

（2）隔离物体 $A$ 。我们先数物体 $A$ 受力的个数，物体 $A$ 最多受到五个力的作用（一个重力、两个接触面）。因为使用整体法已经分析出了墙壁这个接触面的两个力，加上重力，还有两个力没有分析。此时根据平衡法，想要让物体 $A$ 合力为0，物体 $A$ 和物体 $B$ 这个接触面，物体 $B$ 需要对物体 $A$ 一个支持力，垂直接触面斜向左上方，如图1-6（c）所示。

图1-6（c）

（3）根据以上受力分析图，这四个力已经可以做到合力为0，所以物体 $B$ 对物体 $A$ 存不存在摩擦力又成了一个未知数，此时单独分析物体 $A$ 已经分析不出来了。当隔离物体 $A$ 分析不出来的时候，我们就暂时先放一放，再隔离物体 $B$ 进行受力分析。

（4）先数一下物体 $B$ 的受力个数，物体 $B$ 最多受到四个力的作用（一个重力、一个外力 $F$ 、一个接触面）。根据牛顿第三定律，物体 $B$ 对物体 $A$ 存在一个支持力，则物体 $A$ 对物体 $B$ 也存在一个压力，此时物体 $B$ 的受力分析结果如图1-6（d）所示。

图1-6（d）

（5）此时物体 $B$ 的合力不可能为0，所以物体 $B$ 还需要一个力。先前我们已经知道物体 $B$ 最多只能受到四个力的作用，现在我们已经分析出了三个力，所以物体 $B$ 的最后一个力是物体 $A$ 对物体 $B$ 的摩擦力，这个力的方向只能够平行接触面向上，才能使物体 $B$ 的合力为0。受力分析结果如图1-6（e）所示。

图1-6（e）

这就是物体 $B$ 的完整的受力分析。

（6）根据物体 $B$ 的完整的受力分析图，物体对物体 $B$ 存在摩擦力的作用，则根据牛顿第三定律，物体 $A$ 也会受到物体 $B$ 一个摩擦力的作用。这个摩擦 $A$ 力与物体 $B$ 受到 $A$ 的摩擦力大小相等，方向相反，所以物体 $A$ 的完整受力分析结果如图1-6（f）所示。

图1-6（f）

2．图甲分析完毕，再来分析图乙，也是先用整体法进行分析。

（1）把物体 $C$ 和物体 $D$ 看成一个整体，这个整体最多受到四个力的作用（一个重力、一个弹簧弹力，一个接触面）。首先在图上画出重力，根据平衡法，这个整体必须受到弹簧向上的弹力，受力分析结果如图1-6（g）所示。

图1-6（g）

（2）从平衡的角度进行分析，这两个力已经可以合力为0了，但是墙壁这个接触面到底存不存在力还有待商榷。假设墙壁对物体 $C$ 存在支持力，如图1-6（h）所示。根据力与运动的关系，这个整体就会有水平向右的加速度，这个整体就会往右运动，进而这个整体就会与墙壁分离，分离后，墙壁就不会对物体 $C$ 存在支持力了，前后矛盾，所以假设不成立。所以墙壁对物体 $C$ 不存在支持力，没有支持力也就没有摩擦力，墙壁与物体 $C$ 之间没有任何力的作用。

图1-6（h）

（3）根据整体法的受力分析，得到墙壁对物体 $C$ 没有任何力的作用，并且弹簧的弹力等于物体 $C$ 和物体 $D$ 的重力之后。接下来就需要使用隔离法进行受力分析。

（4）我们现在隔离物体 $C$ 进行受力分析。首先数一下物体 $C$ 的受力个数，物体 $C$ 最多受到5个力的作用（一个重力、两个接触面）。又因为已经分析出墙壁对物体 $C$ 没有力的作用，所以物体 $C$ 现在还有3个力没有进行分析。首先在图上画出重力（主动力），根据平衡法，为了平衡重力，物体 $D$ 对物体 $C$ 必须存在两个力的作用，这两个力就是支持力和摩擦力。物体 $C$ 的完整的受力分析结果如图1-6（i）所示。

图1-6（i）

（5）物体 $C$ 分析完毕后，我们再隔离物体 $D$ 进行受力分析。先数一下物体 $D$ 的受力个数，物体 $D$ 最多受到四个力的作用（一个重力、一个弹簧弹力，一个接触面）。因为我们已经分析出了物体 $C$ 受到的力，根据牛顿第三定律，物体 $D$ 一定会受到接触面的的两个力，这两个力都存在，并且和物体受到这个接触面的两个力大小相等，方向相反。再加上重力一定存在，弹簧弹力已经通过整体法分析出来了，所以物体 $D$ 的这四个力全部存在，不需要分析了，直接画出来即可。物体 $D$ 的受力分析图如图1-6（j）所示。

图1-6（j）

通过上方两种类型的讲解，现在我们对受力分析的完整步骤有了一个比较清晰的认识。但是光靠这个还不够，我们还需要对基础以及更加大量地练习，才能对受力分析做到游刃有余。接下来我们就对各种基础知识点，基础模型进行学习，尽早地完全掌握好受力分析！

二、弹力

弹力这个知识点与其说是模型，还不如说是一个大型的知识点。此处仍以模型称呼它，后面讲到的摩擦力同理。

弹力这部分内容比较简单，这里仅将与之相关较为重要、不太好理解的部分作以讲解。

（一）弹力的定义

一个物体由于受到外力的作用而产生弹性形变，为了恢复原状，从而产生的针对外部物体的力，这个力就叫弹力。

从弹力的定义可以知道很多东西。首先就是弹力是由于施力物体发生弹性形变而产生的。

如果一辆拖拉机停在水平地面上，拖拉机和地面都受到了弹力的作用。拖拉机受到的是地面的支持力，而地面受到的是地面的压力。

根据“弹力是由于施力物体发生弹性形变而产生的”，可以很容易得到“拖拉机受到的弹力是由于地面发生弹性形变而产生的，地面受到的弹力是由于拖拉机发生弹性形变而产生的”。

但也有很多同学会产生疑惑：两个物体接触时，两个物体都发生了弹性形变，为什么就一定是施力物体呢？确实，一个物体静止放在水平地面上，物体和水平地面都发生了弹性形变，但是两个物体因为发生弹性形变而产生的力是不同的力。物体发生弹性形变产生的是压力，而地面发生弹性形变产生的是支持力。由于牛顿第三定律的原因，这两个力是同时出现、同时消失的，所以给了人一个错觉。

从弹力的定义可以得到第二个点：弹力的方向与恢复原状的方向相同，与发生弹性形变的方向相反。这个是从一个很大的角度对弹力的方向进行的总结。当然，针对每一种特定的物体，弹力的方向有不同的判定方法，但那些判定方法是不违背上面这个结论的。

我们针对每一种特定的物体，分析一下它们的弹力方向，具体如下：

1．接触面：垂直接触面指向受力物体（若接触面为球面，则弹力的方向与切线方向垂直并且延长线经过球心）；

2．轻绳：沿绳向里；

3．轻杆：可能沿杆，也可能不沿杆；

4．轻弹簧：如果弹簧处于压缩状态，沿弹簧向外；如果弹簧处于拉伸状态，沿弹簧向里。

（二）弹簧的弹力

高中物理中，我们接触到的所有弹簧都是属于轻弹簧，包括橡皮绳。弹簧的弹力的特点是弹簧两端的弹力始终大小相等，方向相反，但是弹簧的弹力只等于弹簧一端的弹力。

1．图1-7中，弹簧秤和细线的重力及一切摩擦不计，物体重 $G=1N$ ，则弹簧秤 $A$ 和 $B$ 的示数都为 $1N$ 。因为弹簧的弹力等于弹簧一端的力，所以这两根弹簧的弹力都等于一个重物的重力。弹簧 $A$ 不是只有右端才有弹力，它的左端也有弹力，并且正好等于 $1N$ ，这个力是竖直挡板给它的力。

图1-7

2．弹簧或者橡皮绳的弹力很多时候有一些让人意想不到的情况，有一种比较典型的类型就是一根橡皮绳经过一个光滑的定滑轮时的弹力。如图1-8（a）中，已知弓的顶部跨度为 $L$ （如图中虚线所示），弦均匀且弹性良好，其自由长度为 $L$ 。假设弓的跨度保持不变，即箭在弦的正中间，弦夹在不计大小的类似动滑轮的附加装置上，将箭发射出去。

图1-8（a）

已知弦的劲度系数为 $k$ ，发射箭时弦的最大长度为 $2L$ （弹性限度内），则箭被发射瞬间所受的最大弹力为 $F_m$ （设弦的弹力满足胡克定律），这个最大弹力 $F_m$ 我们应该怎么来计算呢？

很多同学遇到这种情况很容易算错，错的原因在于分不清弦的形变量是多少。我们先对其进行受力分析，再用平行四边形定则求合力。之后，再来分析弦的弹力应该怎么计算，以及算错的原因在哪里。设箭被发射瞬间所受的最大弹力为 $F_m$ ，而弦能够达到的最大弹力为 $F_T$ 。受力分析结果如图1-8（b）所示。

图1-8（b）

由几何关系可知 $F=\sqrt{3}F_T$ 。大多数同学算错的原因就在于弦的最大弹力 $F_T$ 上面。在拉弓的时候，弦的最左端是一个光滑的动滑轮，所以在这个动滑轮的两端是同一根弦，所以弦能够拉伸的最大长度是 $2L$ ，而弦的原长为 $L$ ，所以弦能够达到的最大形变量为 $L$ 。根据胡克定律，弦能够达到的最大的弹力 $F_T=k\cdot\Delta x=kL$ ，所以箭被发射瞬间所受的最大弹力 $F=\sqrt{3}F_T=\sqrt{3}kL$ 。

很多同学算错的原因在于认为动滑轮两端是两根弦，每根弦的原长为 $\frac{L}{2}$ ，弦能够达到的最大长度为 $L$ ，所以每根弦的最大伸长量为 $\frac{L}{2}$ ，每根弦能够达到的最大弹力 $F_T=k\cdot\Delta x=\frac{1}{2}kL$ ，因此最终就出了问题。

（三）弹簧的劲度系数

弹簧的劲度系数涉及的公式是胡克定律 $F_T=k\cdot\Delta x$ ，那么劲度系数又涉及哪些内容呢？

胡克定律其时只是一个公式而已，对于公式的应用其时问题都不是很大。而弹簧的劲度系数存在两个基本问题，就是把一根弹簧剪成两段时的劲度系数问题和把两根弹簧结合成一根弹簧时的劲度系数问题。接下来，我们就来理解一下这两种基本问题。

1．如果把一根劲度系数为 $k$ 的弹簧分成两段，一段长度是原长的三分之一，另一段长度是原长的三分之二，则分开后的这两段的劲度系数分别是多少？

想要解决这个问题，必须从胡克定律入手才行。我们先假设这样的一种情形：一根弹簧竖直放置，在其下端静止挂着一个重力 $G$ 的物体，如图1-9（a）所示。此时，弹簧弹力等于重力，即 $kx=G$ ，弹簧此时的伸长量为 $x=\frac{G}{k}$ 。

图1-9（a）

现在，我们把这根弹簧分成两段，一段长度是原长的三分之一，另一段长度是原长的三分之二，因为弹簧两端的弹力大小相等，所以这两段弹簧的弹力都等于 $G$ ，如图1-9（b）所示。上面那段弹簧的长度为原来弹簧长度的三分之一，下面这段弹簧的长度为原来弹簧长度的三分之二，则 $x_1=\frac{1}{3}x$ ， $x_2=\frac{2}{3}x$ 。我们设上面那段弹簧的劲度系数为 $k_1$ ，下面这段弹簧的劲度系数为 $k_2$ ，则 $k_1x_1=G$ ， $k_2x_2=G$ 。所以 $k_1=\frac{G}{x_1}=\frac{3G}{x}=3k$ ， $k_2=\frac{G}{x_2}=\frac{3G}{2x}=\frac{3}{2}k$ 。

图1-9（b）

现在可以对这种情形做一个总结：如果一根弹簧的长度截取为原来弹簧长度的 $\frac{n}{m}$ ，则这根弹簧的劲度系数为原来弹簧劲度系数的 $\frac{m}{n}$ 倍。截取得越短，劲度系数越大。

2．如果有两根不同的弹簧，一根的劲度系数为 $k_1$ ，另一根的劲度系数为 $k_2$ 。那么把它们首尾接在一起形成一根新弹簧，则这根新弹簧的劲度系数是多少？

这种类型的分析方式和上一种类型的分析方式完全一样，只不过是倒着分析。当把这两根弹簧首尾接在一起时，在最下面静止挂着一个重物 $G$ ，则这两根弹簧的弹力大小都为 $G$ ，如图1-9（c）所示。则 $k_1x_1=G$ , $k_2x_2=G$ ，即 $x_1=\frac{G}{k_1}$ ， $x_2=\frac{G}{k_2}$ 。

图1-9（c）

现在我们把这两根弹簧当作一根弹簧进行分析，则这根弹簧的弹力也为 $G$ ，所以 $kx=G$ ，而这根新弹簧的伸长量 $x=x_1+x_2$ 。那么这根新弹簧的劲度系数为 $k=\frac{G}{x}=\frac{G}{x_1+x_2}$ 。直接这么算还是有点难算，所以我们需要改变方式来计算一下，则 $\frac{1}{k}=\frac{x}{G}=\frac{x_1+x_2}{G}=\frac{x_1}{G}+\frac{x_2}{G}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$ ，所以 $k=\frac{k_1\cdot k_2}{k_1+k_2}$ 。

（四）“活动杆”和“固定杆”问题、“活结”和“死结”问题

一直以来，这两个问题都让一些同学特别纠结，完全无法理清它们之间的头绪。现在就专门针对这两个问题进行讲解，它们的区别都是在力上面。

首先来说“活动杆”和“固定杆”。能够围绕一个点转动的杆叫活动杆，它的主要标志是由一个铰链连接，只要出现“铰链”两个字，那这根杆就是活动杆。可能有同学不清楚何为铰链，大家可以想象一下，家里的推拉门，没有门把手的那一端基本用的都是铰链，它能让门绕着门的那一条边进行转动。固定杆就是直接固定在墙上不能动的杆。

活动杆的弹力一定沿杆，固定杆的弹力不一定沿杆。这就是活动杆和固定杆的力的区别。

再来说一下“活结”和“死结”的问题。当题干中出现“光滑的定滑轮”时，就说明它属于“活结”问题。在“活结”问题中，定滑轮两端绳子的拉力大小相等；而在“死结”问题中，绳子两端的拉力大小不相等。

可以从图1-10（a）中甲和乙的情况来理解一下这两个问题。

图1-10（a）

如图甲所示，轻绳 $AD$ 跨过固定在水平横梁 $BC$ 右端的定滑轮挂住一个质量为 $M_1$ 的物体， $\angle ACB=30^o$ ；如图乙中轻杆 $HG$ 一端用铰链固定在竖直墙上，另一端 $G$ 通过细绳 $EG$ 拉住， $EG$ 与水平方向也成 $30^o$ ，轻杆的 $G$ 点用细绳 $GF$ 拉住一个质量为 $M_2$ 的物体。

此处，图甲所示的这种情况就属于固定杆和活结问题，因为情况甲中没有出现铰链，题干中也说明杆直接固定在墙壁上，所以 $BC$ 杆是属于固定杆，它的力不一定沿杆的方向；而在 $BC$ 杆的右侧，有一个定滑轮，所以两端绳子的拉力大小相等， $AC$ 段和 $CD$ 段绳子的拉力大小相等，都等于重物的重力 $M_1g$ 。

我们再对情况甲进行受力分析，并用平行四边形定则求合力。受力分析结果如图1-10（b）所示。因为 $T_{AC}=T_{CD}=M_1g$ ，并且两个绳子拉力的夹角为 $120^o$ ，所以它们的合力 $F_合=T=M_1g$ ，方向斜向左下方。因为在 $C$ 点合力为0，所以轻杆 $BC$ 对 $C$ 端的支持力 $F_{BC}$ 与 $F_合$ 大小相等，方向相反，指向右上方。

图1-10（b）

图1-10（a）中的图乙就属于活动杆和死结问题，因为图中出现了铰链，并且在 $HG$ 杆的右侧不是滑轮，而是一个结。所以在图乙中，轻杆 $HG$ 的力一定沿杆，方向水平向右，而轻绳 $EG$ 和 $GF$ 的力大小不相等。对图乙进行受力分析，并且使用正交分解，得到的受力分析结果如图1-10（c）所示。因为在 $G$ 点合力为0，根据平衡条件，我们可以得到以下式子：

图1-10（c）

$T_{EG}sin30^0=M_2g$

$T_{EG}cos30^0=F_{HG}$

经计算，可得

$T_{EG}=2M_2g$

$F_{HG}=\sqrt{3}M_2g$

分析至此，这两个基本问题也就一目了然了。关于这一内容的知识点就这么多，理解清楚也就不难了。

我建立了一个Q裙：一三五四五二八二五，专门用于高中物理的学习交流，我会在每晚9点到11点之间在裙里面进行答疑解惑，欢迎大家进裙交流学习！

三、摩擦力

一直以来，摩擦力都是同学们的痛点，常常分析出错。

摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力。其中，滑动摩擦力要容易得多，静摩擦力往往难度比较大。现在，我们从基本概念入手，完整地、全面地理解一下摩擦力的知识点。

（一）摩擦力的特点

高中阶段学习的摩擦力拥有一些能够让人惊掉下巴的结论，和初中时期学的完全不一样。我们先来理解一下摩擦力的这些特点。

1．有摩擦力一定有弹力，有弹力不一定有摩擦力。这是因为弹力是产生摩擦力的条件，如果没有了弹力，那么产生摩擦力的条件就不足够，所以也就不会有摩擦力了。

2．同一接触面的摩擦力和弹力的方向一定相互垂直。因为在同一接触面，弹力的方向一定垂直接触面，而摩擦力的方向与接触面平行，所以这两个力的方向永远相互垂直。

3．静止的物体可能受到滑动摩擦力，而运动的物体也可能会受到静摩擦力。有的同学总以为运动的物体不可能会受到静摩擦力，其时物体受的是静摩擦力还是滑动摩擦力，与物体是否运动无关，而是与物体是否存在相对运动有关。例如在图1-11中，物体 $A$ 和木板 $B$ 在外力 $F$ 的作用下一起向右做匀加速直线运动，木板 $B$ 的加速度由摩擦力提供。由于物体 $A$ 和木板 $B$ 没有发生相对滑动，所以物体 $A$ 和木板 $B$ 之间的摩擦力只能是静摩擦力。所以运动的物体是能够受到静摩擦力的。当然，如果只要物体 $A$ 在做匀加速运动，木板 $B$ 静止，则 $A$ 和 $B$ 之间的摩擦力是滑动摩擦力，所以静止的物体也可以受到滑动摩擦力的作用。

图1-11

4．摩擦力的方向可能与运动方向相同，也可能与运动方向相反，但一定与相对运动（趋势）方向相反。有的同学因为在初中学习摩擦力的时候，学习的就是摩擦力的方向与物体运动的方向相反，因此到高中的时候也会认为摩擦力的方向与物体的运动方向相反。而这是对摩擦力方向及作用的最本质的理解出现了问题，摩擦力不管是静摩擦力还是滑动摩擦力，阻碍的都不是物体的运动，而是物体的相对运动（趋势）。所以摩擦力的方向不一定与物体的运动方向相反，但一定与物体的相对运动（趋势）方向相反。

如图1-12所示，物体 $B$ 和物体 $A$ 都在向右运动，如果物体 $B$ 的速度 $v_2$ 小于物体 $A$ 的速度 $v_1$ ，则物体 $B$ 相对物体 $A$ 向左运动，那么物体 $B$ 受到 $A$ 的滑动摩擦力方向水平向右；根据牛顿第三定律，物体 $A$ 受到 $B$ 的滑动摩擦力方向水平向左。则物体 $B$ 受到的摩擦力与速度方向相同，而物体 $A$ 受到的摩擦力与速度方向相反。

图1-12

5．摩擦力既可以提供动力，也可以提供阻力。因为摩擦力的方向既有可能与物体的运动方向相同，也有可能与物体的运动方向相反，所以它既可以提供动力，也可以提供阻力。

（二）静摩擦力与最大静摩擦力的关系

关于静摩擦力与最大静摩擦力的关系，很多同学一直没有理解透彻。举例说明，通常去旅游景点会有一个收费标准： $1.2m$ 以上的小孩需要购票。最大静摩擦力就是这个 $1.2m$ ，它相当于是一个标准，或者说是一个分界点。当摩擦力小于最大静摩擦力时，它就是静摩擦力（不需要购票）；当摩擦力大于最大静摩擦力时，它就会变成滑动摩擦力（需要购票）。

静摩擦力的大小与压力的大小无关，而最大静摩擦力的大小与压力的大小有关。压力越大，最大静摩擦力越大；压力越小，最大静摩擦力越小。

关于静摩擦力，尤其是最大静摩擦力，理解起来会有点难，因此可通过几种不同的情景来辅助大家理解静摩擦力与最大静摩擦力的关系。

1．如图1-13（a）所示，有一个重力不计的长方形容器，被水平力 $F$ 压在竖直的墙面上处于静止状态，现缓慢地向容器内注水，直到将容器刚好盛满为止，在此过程中容器始终保持静止。因为容器与墙壁始终保持静止，所以容器受到墙壁的摩擦力为静摩擦力。受力分析结果如图1-13（b）所示。

图1-13（a）

图1-13（b）

因为容器始终保持静止，所以合力为0。根据图1-13（b）可知，摩擦力的大小等于重力。因为一直在往容器里加水，所以容器的重力一直在变大，那么摩擦力也一直在变大。最大静摩擦力与压力的大小有关，压力越大，最大静摩擦力越大。摩擦力的大小一直在变大，但是最大静摩擦力可以不变，也可以变大或者变小，只要能保证最大静摩擦力的大小大于静摩擦力，容器就不会滑动。所以水平力 $F$ 大小可能变大，也可能变小，也可能不变。

（三）滑动摩擦力

1．如图1-14所示，木块质量为 $m$ ，跟水平桌面的动摩擦因数为 $\mu$ ，受水平向右的力 $F$ 的作用匀速运动，从物体到边缘开始，到物体下落为止，在此过程中物体保持匀速运动。

图1-14

在这种情况下，一定要注意一个问题，就是木块与水平桌面的接触面会不断减小。滑动摩擦力的大小为 $f=\mu F_N=\mu mg$ ，与接触面的大小无关，所以滑动摩擦力的大小永远不变。整个过程中，物体一直在做匀速运动，所以物体的合力为0。根据受力分析可知，推力 $F$ 和滑动摩擦力大小相等，所以推力 $F$ 的大小也永远不变。

这种类型告诉我们：动摩擦因数 $\mu$ 由接触面的粗糙程度决定，与接触面的面积无关，所以动摩擦因数 $\mu$ 也一直不变。

2．如图1-15（a）所示，一木板 $B$ 放在水平地面上，木块 $A$ 放在木板 $B$ 的上面，木块 $A$ 的右端通过轻质弹簧固定在竖直墙壁上。木块与木板之间、木板与地面之间的动摩擦因数相同。用力 $F$ 向左拉木板 $B$ ，使 $B$ 以速度 $v$ 运动，稳定后，弹簧的拉力为 $T$ 。

图1-15（a）

在这种类型中，我们需要讨论的就是滑动摩擦力的大小问题。由于木板 $B$ 做匀速直线运动，物体 $A$ 静止，所以木板 $B$ 和物体 $A$ 的合力一直为0。现在我们分别对物体 $A$ 和木板 $B$ 进行受力分析，受力分析结果如图1-15（b）所示。

图1-15（b）

因为物体 $A$ 的合力为0，物体 $A$ 受到木板 $B$ 的滑动摩擦力 $f_{AB}$ 等于弹簧的弹力 $T$ 。根据牛顿第三定律，木板 $B$ 受到 $A$ 的滑动摩擦力 $f_{AB}$ 的大小也等于 $T$ 。物体 $A$ 与木板 $B$ 之间的弹力大小等于物体 $A$ 的重力，而木板 $B$ 与地面之间的弹力大小等于物体 $A$ 和木板 $B$ 的重力之和。根据滑动摩擦力的公式 $f=\mu F_N$ 可知，由于物体 $A$ 与木板之间、木板与地面之间的动摩擦因数相同，而两个接触面的弹力大小不相同，所以木板 $B$ 受到地面的滑动摩擦力 $f_{B}$ 的大小一定不等于物体 $A$ 受到木板 $B$ 的滑动摩擦力 $f_{AB}$ 的大小。因为木板 $B$ 与地面之间的弹力大小大于物体 $A$ 与木板 $B$ 之间的弹力大小，所以木板 $B$ 受到地面的滑动摩擦力 $f_{B}$ 的大小一定大于物体 $A$ 受到木板 $B$ 的滑动摩擦力 $f_{AB}$ 的大小，所以 $f_{B}$ 一定大于 $T$ 。由于牛顿第三定律，地面受到的滑动摩擦力 $f_{B}$ 的大小等于木板 $B$ 受到地面的滑动摩擦力 $f_{B}$ 的大小，所以地面受到的滑动摩擦力 $f_{B}$ 的大小也一定大于 $T$ 。根据滑动摩擦力的公式 $f=\mu F_N$ 可知，物体 $A$ 受到的滑动摩擦力 $f_{AB}$ 的大小只与接触面的动摩擦因数和压力 $F_N$ 有关，与木板 $B$ 的速度 $v$ 和拉力 $F$ 的大小无关。只要接触面的动摩擦因数和压力不变，物体 $A$ 受到的滑动摩擦力 $f_{AB}$ 的大小永远不变，永远等于 $T$ 。

同理可证：木板 $B$ 受到地面的滑动摩擦力 $f_{B}$ 的大小也与木板 $B$ 的速度 $v$ 和拉力 $F$ 的大小无关。 $f=\mu F_N$ 这个公式中的 $f$ 、 $\mu$ 和 $F_N$ 必须是同一接触面的， $A$ 和 $B$ 这个接触面的摩擦力 $f_{AB}$ ，必须使用这个接触面的动摩擦因数和这个接触面的弹力 $F_N$ ， $B$ 与地面这个接触面的摩擦力 $f_{B}$ ，必须使用这个接触面的动摩擦因数和这个接触面的弹力 $F_N$ ，不能互相混淆。

（四）静摩擦力

再来说说静摩擦力的问题，主要在于静摩擦力的方向上面。滑动摩擦力的方向一定与相对运动方向相反，而静摩擦力的方向一定与相对运动趋势的方向相反。相对运动方向很好分析出来，但是相对运动趋势的方向一般情况下就不是那么好分析了。所以在分析静摩擦力的方向的时候，我们需要使用到一些其他特殊的方法。最主要分析静摩擦力的方向的方法是平衡法和牛二法（牛二法也叫动力阻力法）。

1．试分析这种情况：某同学骑自行车上学时，地面对前轮的摩擦力为 $F_1$ ，对后轮的摩擦力为 $F_{f1}$ ；推自行车前进时，地面对前轮的摩擦力为 $F_2$ ，对后轮的摩擦力为 $F_{f2}$ 。这四个摩擦力的方向，我们就可以使用牛二法（动力阻力法）来分析。

自行车在运动的时候，是车轮与地面接触。可能有的同学会说：老师，这不是属于滚动摩擦力吗？滚动摩擦力是初中的说法，在高中我们都是把它叫作静摩擦力。自行车是属于典型的后轮驱动，意思就是后轮提供动力。所以我们在骑自行车前进的时候，后轮提供动力，前轮提供阻力，所以地面对前轮的摩擦力 $F_1$ 与运动方向相反，对后轮的摩擦力 $F_{f1}$ 与运动方向相同。如果推自行车前进的话，则前轮后轮提供的都是阻力，所以地面对前轮的摩擦力 $F_2$ 和对后轮的摩擦力 $F_{f2}$ 都与运动方向相反。

2．再如图1-16（a）所示，主动轮 $P$ 通过皮带带动从动轮 $Q$ ， $A$ 与 $B$ 、 $C$ 与 $D$ 分别是皮带与轮缘相互接触的点。如果皮带不打滑，当主动轮P沿顺时针方向旋转时， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 各点所受摩擦力的方向又是什么呢？

图1-16（a）

这也属于判断静摩擦力方向的题。本题中，主动轮为 $P$ ，从动轮为 $Q$ ，意思就是主动轮 $P$ 依靠静摩擦力带着皮带运动，静摩擦力给皮带提供动力；而皮带又依靠静摩擦力带着从动轮 $Q$ 运动，静摩擦力给从动轮 $Q$ 提供动力。进一步理解，就是 $B$ 带着 $A$ 运动，静摩擦力给 $A$ 提供动力， $A$ 所受的静摩擦力与 $A$ 的运动方向相同，方向向上； $C$ 带着 $D$ 运动，静摩擦力给 $D$ 提供动力，那么 $D$ 所受的静摩擦力与 $D$ 的运动方向相同，方向向下。再根据牛顿第三定律， $B$ 对 $A$ 的静摩擦力方向向上，那么 $A$ 对 $B$ 的静摩擦力方向向下；同理， $C$ 对 $D$ 的静摩擦力方向向下，那么 $D$ 对 $C$ 的静摩擦力方向向上。受力分析结果如图1-16（b）所示。

图1-16（b）

（五）摩擦力的其他问题

1．当我们用手夹书的时候，手与书之间的摩擦力也是静摩擦力。如果手与书之间的摩擦力变成了滑动摩擦力，书就夹不起来。如果两手水平用力地夹起一摞书而保持静止，手对书施加的水平压力 $F=225N$ ，如每本书的质量均为 $0.9kg$ ，手与书之间的动摩擦因数为 $\mu _1=0.45$ ，书与书之间的动摩擦因数相同，均为 $\mu _2=0.35$ 。那我们最多能够夹住多少本书呢？换言之，就是人对书的最大静摩擦力能够承受住多少本书的重力？这时，主要有两个地方有可能会发生相对滑动，一个是手与最外层书的这个接触面，另一个是最外层书与第二层书的这个接触面。一旦发生相对滑动，表明此时书的数量过多，夹不住。假设我们最多能够夹住 $n$ 本书，把所有书作为一个整体进行受力分析，受力分析结果如图1-17（a）所示。

图1-17（a）

要想把这 $n$ 本书都能够夹起来，则 $2f_1\geq nmg$ ，而 $f_1=\mu _1F$ ，经计算得 $n\leq 22.5$ 。手与书之间的静摩擦力最多可以夹住 $22$ 本书。因为书与书之间的动摩擦因数比手与书之间的动摩擦因数小，所以有可能手与书之间还没有发生相对滑动，第一本书与第二本书之间已经发生了相对滑动。所以现在我们需要把除开最外层的那两本书之外的所有书作为一个整体进行受力分析，受力分析结果如图1-17（b）所示。

图1-27（b）

要想把这（ $n-2$ ）本书都能够夹起来，则 $2f_2\geq (n-2)mg$ ，而 $f_2=\mu _2F$ ，经计算得 $n\leq 19.5$ 。越往里面，外层书对内层书的最大静摩擦力始终等于 $f_2$ 不变，而书的重力却在不断减小。所以如果最外层书与第二层书之间都没有发生相对滑动，那么第二层书与第三层书之间、第三层书与第四层书之间、甚至更内层书之间也不会发生相对滑动。那么想要把书都夹起来，书的总数不能超过 $19$ 本书，换言之，最多能够夹住 $19$ 本书。

2．接下来，再来分析一下以下这种情景。在水平桌面 $C$ 上放一木板 $B$ ，在 $B$ 表面上有一个滑块 $A$ ，如图1-18（a）所示。已知 $A$ 、 $B$ 间和 $B$ 、 $C$ 间的动摩擦因数都为 $\mu$ ，当 $A$ 获得水平向左的初速度，开始在木板上向左滑动时。

图1-18（a）

该情景的关键点在之前的情景中已经出现过，再来复习一下。首先，分别对滑块 $A$ 和木板 $B$ 进行受分析，受力分析结果如图1-18（b）所示。

图1-18（b）

因为滑块 $A$ 和木板 $B$ 之间发生了相对滑动，所以滑块 $A$ 和木板 $B$ 之间的摩擦力 $f_{AB}=\mu F_N=\mu mg$ ，而木板 $B$ 与水平桌面 $C$ 之间的最大静摩擦力 $f_{B}=\mu N=\mu (F_N+Mg)=\mu (m+M)g$ 。因为 $A$ 、 $B$ 间和 $B$ 、 $C$ 间的动摩擦因数都为 $\mu$ ，所以 $f_{AB}<f_B$ 。对木板 $B$ 而言，动力 $f_{AB}$ 小于地面的阻力 $f_B$ ，所以木板 $B$ 一定不会运动，永远处于静止状态，所以木板 $B$ 的合力始终为0。木板 $B$ 受到桌面的摩擦力 $f=f_{AB}=\mu mg$ ，与木板自身的质量无关。因为 $A$ 、 $B$ 间和 $B$ 、 $C$ 间的动摩擦因数都为 $\mu$ ，所以 $f_{AB}<f_B$ 永远成立，与 $A$ 、 $B$ 的质量没有关系，所以木板动不动与 $A$ 、 $B$ 的质量也没有关系。不管 $A$ 、 $B$ 的质量怎么变，木板都不可能运动。

3．再如图1-19所示，当我们用一辆运送沙子的自卸卡车装满沙子，沙粒之间的动摩擦因数 $\mu _1$ ，沙子与车厢底板间的动摩擦因数为 $\mu _2$ （ $\mu _2>\mu _1$ ），车厢的倾角用 $\theta$ 表示。想要将沙子全部卸干净，则车厢底板对沙子的最大静摩擦力必须要小于沙子的重力分力，即 $\mu _2mgcos\theta<mgsin\theta$ ，所以 $\mu _2<tan\theta$ 。

图1-19

当卡车在卸沙子时，在上面的沙子受到的是沙子的摩擦力，在下面的沙子受到的是车厢底板的摩擦力。如果只卸掉部分沙子的话，沙子对沙子的最大静摩擦力需要小于沙子的重力分力，车厢底板对沙子的最大静摩擦力必须要大于沙子的重力分力，这样才会在车厢底部留有一部分沙子。根据先前的式子可以得到 $\mu _1<tan\theta$ 、 $\mu _2>tan\theta$ ，所以 $\mu _2>tan\theta>\mu _1$ 。

4．复印机的纸盒中也涉及了摩擦力的问题。如图1-20所示，假设在水平面上复印机纸盒里放一叠共计十张复印纸，每一张纸的质量均为 $m$ 。用一摩擦轮以竖直向下的力 $F$ 压第一张纸，并以一定的角速度逆时针转动摩擦轮，确保摩擦轮与第一张纸之间、第一张纸与第二张纸之间均有相对滑动。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，摩擦轮与第一张纸之间的动摩擦因数为 $\mu _1$ ，纸张间的动摩擦因数均为 $\mu _2$ ，且有 $\mu _1>\mu _2$ 。因为摩擦轮带着第一张纸运动，所以摩擦轮对第一张纸的滑动摩擦力给第一张纸提供动力，摩擦力的方向与第一张纸的运动方向相同。摩擦轮逆时针转动，带着第一张纸向右运动，所以第一张纸受到摩擦轮的摩擦力方向向右。又因为摩擦轮与第一张纸之间、第一张纸与第二张纸之间均有相对滑动，所以这两个接触面的摩擦力均为滑动摩擦力，并且由于第一张纸在向右运动，则摩擦轮给第一张纸的摩擦力一定大于第二张纸给第一张纸的摩擦力，即 $\mu _1F>\mu _2(F+mg)$ 。第二张纸受到第一张的摩擦力为 $f_{12}=\mu _2(F+mg)$ ，而受到第三张纸的最大静摩擦力为 $f_{23}=\mu _2(F+2mg)$ ，则 $f_{12}<f_{23}$ ，所以第二张纸与第三张纸之间绝对不会发生相对滑动。

图1-20

依此类推，第二张纸到第九张纸之间都满足“每一张纸的上表面受到的摩擦力都小于下表面受到的最大静摩擦力”，即 $\mu _2(F+nmg)<\mu _2[F+(n+1)mg]$ ，所以第二张纸到第九张纸之间都不可能发生相对滑动，所以第二张纸到第九张纸都处于静止状态，合力为0。

5．最后，再来理解一下摩擦力的问题。如图1-21（a）所示，在水平桌面上叠放着质量相等的 $A$ 、 $B$ 两块木板，在木板 $A$ 上放着质量为 $m$ 的物块 $C$ ，木板和物块均处于静止状态， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 之间以及 $B$ 与桌面之间的动摩擦因数均为 $\mu$ 。现用水平恒力 $F$ 向右拉木板 $A$ ，则会出现一些急需要分析的问题，就是这三个物体会怎么运动。想要分析好这个问题，可以首先对木板 $B$ 进行分析。因为上方已经说明了 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 之间以及 $B$ 与桌面之间的动摩擦因数均为 $\mu$ ，这就已经为木板 $B$ 的分析做好了准备。

图1-21（a）

现在单独对木板 $B$ 进行受力分析，受力分析如图1-21（b）所示。木板 $A$ 对木板 $B$ 的摩擦力的最大值为 $f_{AB}=\mu (m+M)g$ ，而地面对木板 $B$ 的摩擦力的最大值为 $f_{B}=\mu (m+2M)g$ 。所以不管外力 $F$ 多大， $f_{AB}$ 永远小于 $f_{B}$ ，木板 $B$ 永远保持静止状态，木板 $B$ 受到地面的摩擦力永远为静摩擦力。但是木板 $A$ 、 $B$ 之间有没有发生相对滑动现在不清楚，所以两种情况都需要分析一下。

图1-21（b）

如果木板 $A$ 、 $B$ 之间没有发生相对滑动，则木板 $A$ 、 $B$ 之间的摩擦力为静摩擦力。并且物块 $C$ 和木板 $A$ 处于静止状态，物块 $C$ 和木板 $A$ 的合力都为0。我们分别对物块 $C$ 和木板 $A$ 进行受力分析，受力分析结果如图1-21（c）所示。此时，物块 $C$ 只受重力和支持力，不受摩擦力，所以 $A$ 、 $C$ 之间的摩擦力大小为0。木板 $A$ 受到木板 $B$ 的摩擦力 $f_{AB}=F$ ，方向水平向左。

图1-21（c）

如果木板 $A$ 、 $B$ 之间发生了相对滑动，则木板 $A$ 、 $B$ 之间的摩擦力为滑动摩擦力。若物块 $C$ 与木板 $A$ 一起做匀加速运动，则物块 $C$ 和木板 $A$ 的合力不为0，方向水平向右。为了提供向右的加速度，则物块 $C$ 会受到水平向右的滑动摩擦力的作用，而木板 $A$ 受到木板 $B$ 的摩擦力 $f_{AB}<F$ ，方向水平向左。

四、模型分析

以上，我们介绍了最基本的受力分析方法以及关于分解步骤的理解，还针对弹力和摩擦力进行了讲解，想必大家对受力分析的正确方法已有所掌握。接下来，我们将针对各种各样的模型进行讲解，对受力分析的方法及步骤进行强化练习。

（一）斜面体模型Ⅰ

斜面体模型是高中物理比较庞大的一类物理模型，相信很多同学对它都是闻风丧胆。确实，这是一个幽灵一般的存在。它神出鬼没的，在很多地方都会出现，如受力分析、牛顿第二定律、运动学、平抛运动、动能定理、功能关系以及动量等。所以，这是一个攻坚任务呀！

现在，我们专门针对它在受力分析中出现的其中一种情况进行分析。确切地讲，它应该叫作斜面体加重叠体模型。首先来分析斜面体模型最基本的类型。

1．如图1-22（a）所示，一个质量为 $m$ 的滑块静止在一粗糙斜面体上，水平面不光滑。

图1-22（a）

该斜面体模型有两大基本问题：①地面对 $M$ 的支持力和摩擦力的大小和方向；② $M$ 对 $m$ 的支持力和摩擦力的大小和方向。这就是最典型的斜面体加重叠体模型，而应用的方法就是整体隔离法。分析过程如下：

如果我们把这两个物体（滑块和斜面体）看成一个整体，那么地面对斜面体 $M$ 的力就是外力， $M$ 与 $m$ 之间的力就是内力。那么，分析①用整体法；分析②用隔离法。

先对滑块 $m$ 和斜面体 $M$ 作为整体进行受力分析，分析结果如图1-22（b）所示。地面对斜面体的支持力等于两物体重力之和，即 $N=(M+m)g$ ，方向竖直向上；地面对 $M$ 无摩擦力。

图1-22（b）

注意：把 $M$ 与 $m$ 当作整体受力分析的话，可以像右图这样分析，当成一个整体就相当于是一个物体。

再使用隔离法，因为滑块 $m$ 比斜面体 $M$ 受力个数少，根据“受力个数选其少”原则，故对滑块 $m$ 进行受力分析，分析结果如图1-22（c）所示。 $M$ 对 $m$ 的支持力垂直斜面向上，大小为 $mgcos\theta$ ； $M$ 对 $m$ 的静摩擦力平行斜面向上，大小为 $mgsin\theta$ 。

图1-22（c）

2．如图1-23（a）所示，一个质量为 $m$ 的滑块在一水平向右的外力 $F$ 的作用下静止在一粗糙斜面体上，水平面不光滑。

图1-23（a）

该斜面体模型有三大基本问题：①地面对 $M$ 的支持力和摩擦力的大小和方向；② $M$ 对 $m$ 的支持力和摩擦力的大小和方向；③若 $F$ 变大，这两个力的变化情况。分析过程如下：

分析①用整体法，对滑块 $m$ 和斜面体 $M$ 作为整体进行受力分析，分析结果如图1-23（b）所示。地面对斜面体 $M$ 的支持力等于两物体重力之和，即 $N=(M+m)g$ ，方向竖直向上；地面对 $M$ 的摩擦力方向向左，大小等于 $F$ 。

图1-23（b）

分析②用隔离法，因为滑块 $m$ 比斜面体 $M$ 受力个数少，根据“受力个数选其少”原则，故对滑块 $m$ 进行受力分析，分析结果如图1-23（c）所示。 $M$ 对m的支持力垂直斜面向上，大小为 $F_N=mgcos\theta+Fsin\theta$ ：

当 $mgsin\theta>Fcos\theta$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力方向平行斜面向上，大小为 $f_1=mgsin\theta-Fcos\theta$ ；

当 $mgsin\theta=Fcos\theta$ 时： $M$ 对 $m$ 没有摩擦力；

当 $mgsin\theta<Fcos\theta$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力方向平行斜面向下，大小为 $f_1=Fcos\theta-mgsin\theta$ .

图1-23（c）

根据①和②的分析结果，可分析③：

当 $F$ 变大，则地面对斜面体的支持力 $N$ 不变，摩擦力 $f_2$ 变大； $M$ 对 $m$ 的支持力 $F_N$ 变大；

当 $mgsin\theta>Fcos\theta$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力 $f_1$ 有可能平行斜面向上变小，也有可能平行斜面先变小再反向增大；

当 $mgsin\theta=Fcos\theta$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力 $f_1$ 平行斜面向下变大；

当 $mgsin\theta<Fcos\theta$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力 $f_1$ 平行斜面向下变大。

3．如图1-24（a）所示，一个质量为 $m$ 的滑块在一沿斜面向上的外力 $F$ 的作用下静止在一粗糙斜面体上，水平面不光滑。

图1-24（a）

该斜面体模型也有三大基本问题：①地面对 $M$ 的支持力和摩擦力的大小和方向；② $M$ 对 $m$ 的支持力和摩擦力的大小和方向；③若 $F$ 变大，这两个力的变化情况。

（1）分析①用整体法，对滑块 $m$ 和斜面体 $M$ 作为整体进行受力分析，分析结果如图1-24（b）所示。地面对斜面体 $M$ 的支持力方向竖直向上，大小为 $N=(M+m)g-Fsin\theta$ ；地面对 $M$ 的摩擦力 $f_2$ 方向向左，大小等于 $Fcos\theta$ 。

图1-24（b）

（2）分析②用隔离法，因为滑块 $m$ 比斜面体 $M$ 受力个数少，根据“受力个数选其少”原则，故对滑块 $m$ 进行受力分析，分析结果如图1-24（c）所示。 $M$ 对 $m$ 的支持力垂直斜面向上，大小为 $F_N=mgcos\theta$ 。

图1-24（c）

当 $mgsin\theta>F$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力方向平行斜面向上，大小为 $f_1=mgsin\theta-F$ ；

当 $mgsin\theta=F$ 时： $M$ 对 $m$ 没有摩擦力；

当 $mgsin\theta<F$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力方向平行斜面向下，大小为 $f_1=F-mgsin\theta$ 。

（3）根据①和②的分析结果，可分析③：

当 $F$ 变大，则地面对斜面体的支持力 $N$ 变小，摩擦力 $f_2$ 变大； $M$ 对 $m$ 的支持力 $F_N$ 不变；

当 $mgsin\theta>F$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力 $f_1$ 有可能平行斜面向上变小，也有可能平行斜面先变小再反向增大；

当 $mgsin\theta=F$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力 $f_1$ 平行斜面向下变大；

当 $mgsin\theta<F$ 时： $M$ 对 $m$ 的摩擦力 $f_1$ 平行斜面向下变大。

关于斜面体模型的习题几乎都需要用到整体隔离法。地面对斜面体M的支持力和摩擦力永远都是外力，分析这两个力时用整体法最为轻松；而斜面体 $M$ 和滑块 $m$ 之间的力是内力，分析内力不能用整体法，只能对滑块 $m$ 用隔离法进行分析。

（二）斜面体模型Ⅱ

以上介绍并讲解了斜面体模型最基本的情况及其解决方法，下面介绍斜面体的另一种情况，并针对斜面体模型进行新的分析。

1．如图1-25（a）所示，一斜面体 $A$ 静止在粗糙水平面上，在其斜面上放着一滑块 $B$ ，若给滑块 $B$ 一平行斜面向下的初速度 $v_0$ ，则 $B$ 正好保持匀速下滑，斜面体 $A$ 保持静止。则此时水平面对斜面体 $A$ 的摩擦力为多少？

图1-25（a）

因为滑块 $B$ 做匀速直线运动，斜面体 $A$ 静止，所以滑块 $B$ 和斜面体 $A$ 的合力均为0，可以对 $A$ 和 $B$ 用整体法。现在对 $A$ 和 $B$ 整体进行受力分析，分析结果如图1-25（b）所示。此时水平面对斜面体 $A$ 没有摩擦力，直接使用整体隔离法就行了。

图1-25（b）

2．现在我们把上述情景稍微改动一下。还是这个斜面体 $A$ 静止在粗糙的水平面上，在其斜面上放着一滑块 $B$ ，若给滑块 $B$ 一平行斜面向下的初速度 $v_0$ ，则 $B$ 正好保持匀速下滑。如图1-25（c）所示，现在 $B$ 下滑过程中分别施加不同的作用力，则水平面对斜面体 $A$ 的摩擦力又会如何呢？

图1-25（c）

可能有同学认为这道题应该用整体隔离法，可一旦加上外力后，物体 $B$ 就会有加速度。因为不知道此时物体 $B$ 的加速度的大小和方向，所以用整体隔离法是分析不出地面对 $A$ 的摩擦力的。因此，这道题不能用整体法，只能用隔离法。

一开始不加任何外力时，滑块 $B$ 正好能保持匀速下滑。我们隔离物体 $B$ 进行受力分析，得到的受力分析结果如图1-25（d）所示。我们能够得到结论： $mgsin\theta=\mu mgcos\theta$ ，即 $sin\theta=\mu cos\theta$ 。

图1-25（d）

见图1-25（e），后面加上 $F_1$ ，进行受力分析之后，发现上面得到的结论除了能够分析出物体 $B$ 做什么运动之外，对于分析水平面对斜面体 $A$ 有没有摩擦力一点用都没有。加上竖直向下的外力 $F_1$ 之后，因为 $sin\theta=\mu cos\theta$ ，所以 $mgsin\theta+F_1sin\theta=\mu (mgcos\theta+F_1cos\theta)$ ，物体 $B$ 继续向下做匀速直线运动。

图1-25（e）

但是对斜面体 $A$ 而言，想要分析出 $fcos\theta$ 与 $F_Nsin\theta$ 的大小关系就有点困难了（当然，用正交分解法也能够分析出两个分力的大小，但在时间就是金钱的考试中，花大量时间在这个上面似乎有点太奢侈了）。竖直向下的外力 $F_1$ 还比较简单，但是对于像 $F_2$ 或者 $F_3$ 这样的外力呢，分析难度明显增高。

其实，对于这类题有一个比较简单的方法：物体 $B$ 向下运动，那么物体 $B$ 对斜面体 $A$ 的滑动摩擦力方向永远沿斜面向下，压力方向永远垂直斜面向下，并且滑动摩擦力与压力的关系永远满足 $f=\mu F_N$ 。又因为一开始滑块 $B$ 向下做匀速直线运动，所以 $sin\theta=\mu cos\theta$ ，则不管外力 $F$ 如何变化，滑动摩擦力与压力的合力方向永远竖直向下，如图1-25（f）中左图所示。不管外力如何变化，滑块 $B$ 对斜面体 $A$ 的滑动摩擦力和压力会同时发生相应的变化，但它们的合力方向不会变，永远竖直向下。则根据图1-25（f）中右图所示，水平面对斜面体一直没有摩擦力。

图1-25（f）

根据上述内容，我们得到一个二级结论：若滑块在不受任何外力时，在斜面体上向下做匀速直线运动，则不管在滑块上加任何方向上的外力，只要滑块沿斜面向下运动，则水平面对斜面体永远无摩擦力。

（三）斜面体模型Ⅲ

斜面体模型第三部分的内容其实很简单，这里主要给大家讲解三种类型，其他所有情景都直接来自这三种类型。

1．如图1-26（a）所示，一质量为 $m$ 的物块恰好静止在倾角为 $\theta$ 的斜面上。现对物块施加一个竖直向下的恒力 $F$ ，则物块的运动和摩擦力又会发生什么样的变化呢？

图1-26（a）

该类型的前提条件是物块处于静止状态，根据受力分析可知 $mgsin\theta\leq\mu mgcos\theta$ ，即 $sin\theta\leq\mu cos\theta$ ，加了竖直向下的外力 $F$ 之后，受力分析图如图1-26（b）。

图1-26（b）

想要知道此时滑块如何运动，就必须要知道 $mgsin\theta+Fsin\theta$ 与最大静摩擦力的关系才行。而根据最大静摩擦力等于滑动摩擦力来分析，能够知道此时最大静摩擦力 $f_m=\mu (mgcos\theta+Fcos\theta)=\mu mgcos\theta+\mu Fcos\theta$ ，因为 $mgsin\theta\leq\mu mgcos\theta$ ，即 $sin\theta\leq\mu cos\theta$ ，所以 $mgsin\theta+Fsin\theta\leq f_m$ ，意味着此时滑块仍然静止，但是摩擦力变大了。有滑块仍然保持静止，它所受的合外力还为0。

2．如图1-27所示，一质量为 $m$ 的物块恰好能沿倾角为 $\theta$ 的斜面匀速下滑。现对物块施加一个竖直向下的恒力 $F$ ，则物块的运动和摩擦力又会发生什么样的变化呢？

图1-27

该类型的前提条件是滑块做匀速运动，对滑块而言 $mgsin\theta=\mu mgcos\theta$ ，即 $sin\theta=\mu cos\theta$ 。加了竖直向下的外力 $F$ 后， $mgsin\theta+Fsin\theta$ 与 $f=\mu (mgcos\theta+Fcos\theta)$ 还是相等，所以滑块还是沿斜面向下做匀速运动，但摩擦力变大，合外力依旧为0。

3．仍如图1-27所示，放在固定斜面上的物块以加速度 $a$ 沿斜面匀加速下滑，若在物块上再施加一个竖直向下的恒力 $F$ ，则物块的运动会发生什么样的变化呢？

该类型的前提条件是滑块以加速度 $a$ 沿斜面匀加速下滑，那么对滑块用牛顿第二定律得 $mgsin\theta-\mu mgcos\theta=ma$ ，并且 $mgsin\theta>\mu mgcos\theta$ ，即 $sin\theta>\mu cos\theta$ 。现在滑块上加一个竖直向下的外力 $F$ ，受力分析图如类型一所示，对滑块用牛顿第二定律得 $(mg+F)sin\theta-\mu (mg+F)cos\theta=ma_1$ ，把括号打开后得 $mgsin\theta+Fsin\theta-\mu mgcos\theta-\mu Fcos\theta=ma_1$ ，即 $ma+F(sin\theta-\mu cos\theta)=ma_1$ 。因为 $sin\theta>\mu cos\theta$ ，所以 $a<a_1$ ，滑块以大于 $a$ 的加速度向下做匀加速运动。

4．现在，我们再把前提条件换一下：如果一开始滑块向下做匀减速运动，那么加上竖直向下的外力 $F$ 后，滑块又会做什么运动呢？

一开始滑块以加速度 $a$ 沿斜面匀减速下滑，那么对滑块用牛顿第二定律得 $\mu mgcos\theta-mgsin\theta=ma$ ，得到 $mgsin\theta<\mu mgcos\theta$ ，即 $sin\theta<\mu cos\theta$ 。然后在滑块上加一个竖直向下的外力 $F$ ，受力分析图如图1-26（b）所示，对滑块用牛顿第二定律得 $\mu (mg+F)cos\theta-(mg+F)sin\theta=ma_1$ ，把括号打开后得 $\mu mgcos\theta+\mu Fcos\theta-mgsin\theta-Fsin\theta=ma_1$ ，即 $ma+F(\mu cos\theta-sin\theta)=ma_1$ 。因为 $sin\theta<\mu cos\theta$ ，所以 $a<a_1$ ，滑块以大于 $a$ 的加速度向下做匀减速运动。

这就是属于斜面体模型的第三种类型，它已经和牛顿第二定律扯上了联系，所以难度系数一下就加大了许多。以上这三种类型若不放在一起还不觉得，放在一起观察后会发现，其中还是存在一定规律的。

（四）斜面体模型Ⅳ

现在讲解斜面体模型的最后一种情况。这种情况和斜面体模型Ⅱ有很大的联系，只不过是从另外一种角度进行了延伸。一旦搞清这种情况，对于同学们理解受力分析和牛顿第二定律都有很大助益。

我们先以一个基础问题进行分析，随着分析的深入，看一下其中又存在什么核心的内容。

1．如图1-28所示，一斜面 $A$ 静止在粗糙水平面上，在其斜面上放着一滑块 $m$ ，若给滑块 $B$ 一平行斜面向下的初速度 $v_0$ ，则 $B$ 正好保持匀速下滑，斜面体 $A$ 保持静止。则此时水平面对斜面体 $A$ 的摩擦力为多少？

图1-28

估计有同学已经发现了，这道题就是斜面体模型Ⅱ中的第一道题，其答案是水平面对斜面体 $A$ 没有摩擦力。那么现在就根据这种类型往下延伸，看还能发现什么样的内容。

2．如图1-29（a）所示，一斜面 $A$ 静止在粗糙水平面上，在其斜面上放着一滑块 $B$ ，若给滑块 $B$ 一个平行斜面向下的初速度 $v_0$ ，而滑块 $B$ 沿斜面匀加速下滑，斜面体 $A$ 保持静止。则此时水平面对斜面体 $A$ 有没有摩擦力？

图1-29（a）

现在前提条件发生了变化，滑块 $B$ 在沿斜面匀加速下滑。此时，我们需要对滑块 $B$ 进行受力分析，再用牛顿第二定律进行求解，还需要对斜面体 $A$ 进行受力分析，以此来分析水平面对斜面体 $A$ 的摩擦力。但如果这样子分析的话，会遇到很大的问题。因为在这种情况下，对斜面体 $A$ 的受力分析会比较复杂，往往分析到一半就进行不下去了（同学们可以自行试一下，看看结果如何）。此时，我们需要换一种思路。

现在就要用到系统牛顿第二定律了。什么叫系统牛顿第二定律？就是把滑块 $B$ 和斜面体 $A$ 看成一个整体，对这个整体进行受力分析，再使用牛顿第二定律来分析水平面对斜面体 $A$ 的摩擦力方向和大小。

因为滑块 $B$ 正在沿斜面向下做匀加速运动，所以滑块 $B$ 此时有一个沿斜面向下的加速度。我们把这个加速度往水平方向和竖直方向正交分解（任何矢量都是能够正交分解的），可以分别得到两个方向上的加速度，如图1-29（b）所示。

图1-29（b）

当把加速度正交分解完毕，可知对于滑块 $B$ 和斜面体 $A$ 这个系统来说，它们在竖直方向和水平方向都存在加速度，那么该系统在竖直方向和水平方向的合力都不为0。接下来，我们对滑块 $B$ 和斜面体 $A$ 这个整体进行受力分析，竖直方向上的加速度可以由这个整体的重力和水平面的支持力的合力提供，而水平方向上的加速度就只能由水平面的静摩擦力提供，受力分析结果如图1-29（c）所示。

图1-29（c）

根据牛顿第二定律可得在竖直方向 $(m_A+m_B)g-F_N=m_Ba_y$ ；在水平方向 $f=m_Ba_x$ 。

那么分析结果为：水平面对斜面体 $A$ 的静摩擦力方向为水平向左，水平面对斜面体 $A$ 的支持力小于滑块 $B$ 和斜面体 $A$ 的重力之和。

可能有同学要问了：“老师，按照这个分析方法，它们的合力不能为0呀！那这种分析方式为什么是对的呢？”大家要注意，这里的物体 $B$ 是有加速度的，所以物体 $B$ 的合力一定不为0。我们把物体 $B$ 和物体 $A$ 看成一个整体，那么这个整体的合力也是不为0的。

以上分析过程用到了系统牛顿第二定律。这时，想必有同学想要了解使用隔离法分析的来龙去脉，那么我们再讲解一下对物体 $B$ 和斜面体 $A$ 使用隔离法分析的步骤。

首先，单独对物体 $B$ 进行受力分析，这里最好不要用正交分解，用平行四边形定则更好分析一些。分析结果如图1-29（d）中的甲所示。

甲

乙

图1-29（d）

因为物体 $B$ 具有沿斜面向下的加速度，所以物体 $B$ 受到斜面体 $A$ 的支持力和摩擦力的合力（即作用力）必须要指向斜向左上方的方向，这样才能够使物体 $B$ 所受的合力沿斜面向下。那么根据牛顿第三定律，物体 $B$ 对斜面体 $A$ 的作用力必须指向斜向右下方的方向，如图1-29（d）中的乙所示。为使斜面体 $A$ 的合力为0，则水平面对斜面体 $A$ 的摩擦力方向必须水平向左。

这就是使用隔离法进行分析的步骤，虽然也可以分析出来，但远没有使用整体法、系统牛顿第二定律分析来得轻松。

3．如图1-30所示，一斜面 $A$ 静止在粗糙水平面上，在其斜面上放着一滑块 $B$ ，若给滑块 $B$ 一平行斜面向下的初速度 $v_0$ ，而滑块 $B$ 沿斜面匀减速下滑，斜面体 $A$ 保持静止。则此时水平面对斜面体 $A$ 有没有摩擦力？

图1-30

现在再分析这种类型就要简单多了。物体 $B$ 沿斜面匀减速下滑，物体 $B$ 具有一个沿斜面向上的加速度。根据系统牛顿第二定律，物体 $B$ 和斜面体 $A$ 这个整体在水平方向上具有一个向右的加速度，这个加速度只能依靠摩擦力来提供。则水平面对斜面体 $A$ 的摩擦力水平向右。在这种情况下，水平面对斜面体 $A$ 的支持力大于滑块 $B$ 和斜面体 $A$ 的重力之和。

五、动态平衡问题

动态平衡问题是力学中的异类。高中的动态平衡问题几乎都是三个力，其中有一个力或者两个力的方向时刻都在发生变化。相关的问题都是这些力的大小的变化情况是怎样的。

一般情况下，动态平衡问题是不能用正交分解来分析的，因为正交分解解决不了这样的问题。处理动态平衡问题的方法有三个，常考的有两个。我们逐一来理解一下这些方法。

（一）图解法。它主要用于物体受三个力，但只有一个力的方向发生变化的情况。下面，我们动手分析一下这种方法的使用技巧。

例题：如图1-31（a）所示，用细绳 $OA$ 、 $OB$ 悬挂一重物， $OB$ 水平， $O$ 为半圆形支架的圆心，悬点 $A$ 和 $B$ 在支架上．悬点 $A$ 固定不动，将悬点 $B$ 从图所示位置逐渐移到 $C$ 点的过程中，试分析 $OA$ 绳和 $OB$ 绳中的拉力分别是如何变化的？

图1-31（a）

本题中，我们需要在 $O$ 点进行受力分析，发现共有三个力。根据题干信息，悬点 $B$ 从图1-31（a）所示位置逐渐移到 $C$ 点，所以绳子 $OB$ 的拉力一直在发生变化（逆时针旋转）。这三个力中，只有一个力的方向时刻都在发生变化，所以需要使用图解法进行分析。

第一步：用平行四边形定则将两根绳子的拉力的合力作出来。

注意：这两个力的合力方向一定竖直向上（与重力大小相等，方向相反），这一步一定不能画错。受力分析结果如图1-31（b）所示。

图1-31（b）

在进行第二步之前，有些注意事项需要留意一下。一是哪条边的长度代表哪个力的大小。因为绳子 $OB$ 的拉力 $T_B$ 的方向发生了变化，我们就把右侧这个三角形用于分析这个动态变化过程。则斜边的长度代表绳子 $OA$ 的拉力大小，水平方向这条直角边的长度代表绳子 $OB$ 的拉力大小。如图1-31（c）所示。二是不管绳子 $OB$ 的拉力 $T_B$ 的方向如何变化，这个力的箭头永远不能离开斜边的这条虚线。因为根据平行四边形定则，这条虚线的方向代表的是绳子 $OA$ 的拉力方向，而绳子 $OA$ 的方向是不会变的，所以绳子 $OA$ 的拉力方向不会发生变化，则这条虚线也永远不变。

图1-31（c）

第二步：开始沿逆时针方向旋转绳子 $OB$ 的拉力 $T_B$ 的方向，分析两根绳子的拉力大小的变化情况。分析过程如图1-31（d）所示，可知随着悬点 $B$ 从图所示位置逐渐移到 $C$ 点的过程中，绳子 $OB$ 的拉力 $T_B$ 的大小是先变小后变大，当绳子 $OB$ 与绳子 $OA$ 垂直的时候，绳子 $OB$ 的拉力 $T_B$ 最小；而绳子 $OA$ 的拉力一直在变小。

图1-31（d）

这就是图解法的完整步骤，务必要把每一步都掌握好，尤其是每一步的注意事项。注意事项是绝不能违背的，否则就会有很高的出错概率。

（二）相似三角形法。它主要用于物体受三个力，但有两个力的方向发生变化的情况。

例题：如图1-32（a）所示，固定在水平面上的光滑半球，球心 $O$ 的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的 $A$ 点，另一端绕过定滑轮。现缓慢拉绳使小球从 $A$ 点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小 $N$ 及细绳的拉力 $F$ 大小是如何变化的？

图1-32（a）

在这里，小球一共受到三个力的作用，但有两个力的方向一直都在发生变化：一个是支持力，另一个是绳子的拉力。所以我们应该用相似三角形的方法来分析。

第一步：用平行四边形定则将除重力之外的两个力的合力作出来。这一步和图解法的第一步完全相同，也需要注意，这两个力的合力方向一定竖直向上，千万不能画错。受力分析结果如图1-32（b）所示。

图1-32（b）

第二步：找到相似的两个三角形。本题中，是重力、支持力和绳子拉力这三个力组成的矢量三角形和 $OAB$ 这个几何三角形，如图1-32（c）所示。不管小球运动到哪个位置，这两个三角形永远相似。根据相似三角形的原理，相对应的边比值都是一样的，得到关系式 $\frac{N}{OA}=\frac{T}{AB}=\frac{mg}{OB}$ 。因为重力的大小永远不变， $OB$ 的长度也是永远不变，所以这个比值永远不变。 $OA$ 的长度等于半球体的半径，一直不变，则支持力 $N$ 的大小也是一直不变；随着小球的移动， $AB$ 的长度在变小，那么绳子的拉力在变小。

图1-32（c）

现在来理解一下动态平衡问题的最后一种类型。

（三）如图1-33所示，柔软轻绳 $ON$ 的一端 $O$ 固定，其中间某点 $M$ 拴一重物，用手拉住绳的另一端 $N$ 。初始时， $OM$ 竖直且 $MN$ 被拉直， $OM$ 与 $MN$ 之间的夹角为 $\alpha$ （ $\alpha>\frac{\pi}{2}$ ）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 $\alpha$ 不变。在 $OM$ 由竖直被拉到水平的过程中，绳子 $OM$ 段和 $MN$ 段的拉力分别是如何变化的呢？

图1-33

这种情况就属于动态平衡问题的第三种类型，但它和前面两种类型又不一样。这种情况下，两根绳子 $OM$ 、 $MN$ 的拉力方向一直在变，并且它们的夹角又一直保持不变。可见，前面讲的两种方法都解决不了这个问题，需要另辟蹊径。那么我们先对重物进行受力分析，用平行四边形定则作出它的合力，如图1-34所示。

图1-34

根据受力分析图可知，用一般的分析思路确实不易搞定，需要换种思路。两根绳子的拉力的夹角需要保持不变，也可以认为是这个 $\theta$ 角保持不变，因为它和 $\alpha$ 角互补，并且这个 $\theta$ 角正好是重力对应的这个角。在圆的知识点中，如果一根弦保持不变，那么另外两条边不管方向怎么改变，它的夹角永远也不会变。我们可以利用这个方法来解决这道题。因为 $\theta$ 角小于 $90^o$ ，可以把上面的这个受力分析图画成图1-35的样子，它形象清晰地说明了两根绳子拉力的变化情况。由此可知，绳子 $OM$ 的拉力 $T_{OM}$ 的大小在先增大后减小，而绳子 $MN$ 的拉力 $T_{MN}$ 的大小一直在增大。

图1-35

可能有同学会问：“老师，你是怎么分析出来绳子 $MN$ 的拉力 $T_{MN}$ 的大小一直在增大，而不是先增大后减小的呢？”其实，图1-35中最后一幅图中，最终绳子 $OM$ 是处于水平方向的，而重力一直保持在竖直方向，那么此时，重力和绳子 $OM$ 的拉力 $T_{OM}$ 是垂直的。根据圆的特点，此时 $T_{MN}$ 正好处于直径的位置，所以绳子 $MN$ 的拉力 $T_{MN}$ 达到了它的最大值，它的大小当然是一直在增加的。

六、绳子加动滑轮问题

绳子加动滑轮的问题也叫晾衣架问题。这种模型只有两种类型，所以是一个小模型。只要把这两种类型理解清楚，也就没什么大问题了。

1．如图1-36（a）所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物 $G$ 。如果将轻绳的一端固定于支架上的 $A$ 点，另一端从 $B$ 点沿支架缓慢地向 $C$ 点靠近（ $C$ 点与 $A$ 点等高）。则绳中拉力的大小会怎么变化？

图1-36（a）

我们假设绳子在动滑轮处的夹角为 $\theta$ 角，根据平行四边形定则，可以得到绳子的拉力与夹角 $\theta$ 和物体重力的大小关系，如图1-36（b）所示。由此可以得到绳子的拉力与夹角 $\theta$ 和物体重力的大小关系为 $cos\frac{\theta}{2}=\frac{G}{2T}$ ，即 $T=\frac{G}{2cos\frac{\theta}{2}}$ 。根据这个表达式可知，随着绳子的夹角变大，绳子拉力也会变大；随着绳子的夹角变小，绳子拉力也会变小。

图1-36（b）

对于这种类型，绳子的夹角又与什么有关呢？根据数学的几何关系可以得到，在两端点之间的绳子的总长度不变的情况下，绳子的夹角与绳子两端的水平距离有关。绳子两端的水平距离越大，绳子的夹角越大；绳子两端的水平距离越小，绳子的夹角越小。在该类型中，绳子的一端在 $A$ 点不动，另一端从 $B$ 点缓缓地移到 $C$ 点，则绳子两端的水平距离先逐渐变大，然后不再变。因此绳子的夹角也是先逐渐变大，然后不再变。根据前面得到的绳子的拉力与绳子夹角间的关系可知，绳子的拉力也是先逐渐变大，然后不再变。

以上类型属于两端点之间绳子的总长度不变的情况，其结论“两端点间的水平距离越大，绳子的夹角越大，绳子拉力不越大”才能够使用。

如果两端点间绳子的总长度变化的话，又该怎么分析呢？这就涉及第二种类型。

2．如图1-37所示， $A$ 、 $B$ 两物体的质量分别是 $m_A$ 和 $m_B$ ，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦不计。如果绳的一端由 $P$ 点缓慢向左运动到 $Q$ 点，整个系统始终处于平衡状态。关于绳子拉力大小 $F$ 和两滑轮间绳子与水平方向的夹角 $\alpha$ 又是如何变化呢？

图1-37

该类型中，绳子一端在 $P$ 点，另一端在 $O$ 点。从图1-37中可见，两端点之间的绳子长度是可以变化的，这种类型的分析方式和上一种类型就会有一定的区别。

在该类型中，绳子的拉力与夹角 $\theta$ 和物体重力的大小关系仍为 $cos\frac{\theta}{2}=\frac{G}{2T}$ ，即 $T=\frac{G}{2cos\frac{\theta}{2}}$ 。根据这个表达式可知，随着绳子的夹角变大，绳子拉力也会变大；而随着绳子的夹角变小，绳子拉力也会变小。该类型中，绳子的拉力需要通过对物体 $B$ 进行受力分析得到。物体 $B$ 一共受到两个力的作用，即重力和绳子拉力，并且物体 $B$ 处于静止状态，合力为0，所以绳子的拉力等于物体 $B$ 的重力。因为绳子拉力 $F$ 的大小始终保持不变，所以在绳子的一端由 $P$ 点缓慢向左运动到 $Q$ 点的过程中，绳子在动滑轮处的夹角保持不变，则 $\alpha$ 角也保持不变。

七、其他问题

最后，把一些无法归类却很有意思的题型集中起来，用以补充完善我们的力学知识点。

1．如图1-38（a）所示，一位于墙角的斜面，其倾角为 $37^o$ ，一轻质弹簧一端系在质量为 $m$ 的小球上，另一端固定在墙上，弹簧水平放置，小球在斜面上静止时，弹簧处于伸长状态，则小球的受力情况是怎么回事？弹簧对小球的弹力大小有没有什么要求？

图1-38（a）

因为弹簧处于伸长状态，所以弹簧对小球的弹力水平向右。对小球进行受力分析，受力分析结果如图1-38（b）所示。由此可知，为了让小球的合力能够为0，小球必须受到摩擦力的作用，并且摩擦力的方向一定沿斜面向上，再加上重力和斜面对小球的支持力，小球一共受到四个力的作用。根据合力为0的条件可知，木板对小球的作用力（支持力和摩擦力的合力）一定与重力和弹簧弹力的合力大小相等，方向相反，所以木板对小球的作用力方向一定不可能竖直向上。

图1-38（b）

什么是作用力？就是木板对小球所有力的合力。本题中，木板对斜面一共有两个力：一个是支持力，一个是摩擦力，这两个力的合力就叫作用力。

关于弹簧的弹力的要求，最好的解决办法是找到临界点，分析弹簧弹力有没有一个临界值。如果有的话，就可以找出弹簧弹力的取值范围。因为弹簧的弹力方向水平向右，由图1-38（b）分析可知，当小球受到的摩擦力沿斜面向上，并且等于最大静摩擦力时，弹簧弹力最大，这不是弹簧弹力的临界点。由平衡条件，可以得到以下式子：

$F_Tcos\theta+mgsin\theta=f_m$

$F_N+F_Tsin\theta=mgcos\theta$

$f_m=\mu F_N$

经计算，可以得到以下关系式：

$F_T=\frac{\mu cos\theta-sin\theta}{\mu sin\theta+cos\theta}\cdot mg=\frac{4\mu -3}{3\mu +4}\cdot mg=\frac{4(\mu +\frac{4}{3})-\frac{25}{3}}{3(\mu +\frac{4}{3})}\cdot mg=(\frac{4}{3}-\frac{25}{9\mu +12})\cdot mg<\frac{4}{3}mg$ ，所以弹簧弹力只能小于 $\frac{4}{3}mg$ 。

2．如图1-39（a）所示，一倾角为 $45^o$ 的斜面固定于竖直墙上，为使一光滑的铁球静止，需加一水平力 $F$ ，且 $F$ 通过球心。在这种情况下，我们可以分析一下，这个水平力 $F$ 有没有什么要求？斜面和墙壁对小球的支持力同样有没有什么要求？

图1-39（a）

想要解决这个问题，必须对小球进行受力分析，得到受力分析结果如图1-39（b）。

图1-39（b）

为了平衡重力，所以斜面对小球一定有支持力，并且这个支持力的大小满足 $F_Ncos\alpha=mg$ ，即 $F_N=\frac{mg}{cos\alpha}$ 。不管水平力 $F$ 怎么变，这个支持力的大小永远不变，因为它与水平力 $F$ 的大小无关。当水平力 $F$ 的大小满足 $F= F_Nsin\alpha=mgtan\alpha$ 时，小球所受的合力已经能够为0，不需要墙壁对它的支持力；只有当水平力 $F$ 的大小大于 $mgtan\alpha$ 时，墙壁才对小球存在支持力。

综上所述，水平力 $F$ 的大小满足 $F\geq F_Nsin\alpha=mgtan\alpha$ ；斜面对小球的支持力的大小永远不变，与水平力 $F$ 的大小无关，大小为 $F_N=\frac{mg}{cos\alpha}$ ；只有当水平力 $F$ 的大小大于 $mgtan\alpha$ 时，墙壁才对小球存在支持力，并且其大小随水平力 $F$ 的变大而变大。

推荐阅读